| Ver.0.72.8 |
・tableを更新（abc予想）
elipic ⇒ elliptic-q |
| Ver.0.71.8 | ・tableを更新（Goldbach予想） |
| Ver.0.70.8 | ・tableを更新（Riemann予想） |
| Ver.0.69.8 | ・tableを更新（Riemann予想） |
| Ver.0.68.8 |
・show primes結果表示にNtwinprime/Nnと≒1/ln(n)**2を追加（上段）
素数の確率：1/log(n) ⇔ 1/ln(n) ・test caseを追記（表記を統一） 素数の確率：1/log(n) ⇒ 1/ln(n) ・UIの更新履歴を追記（Ver.0.56.7以降の未反映分） |
| Ver.0.67.8 |
・tableを更新（Goldbach予想）
・test caseを追記（Goldbach予想） |
| Ver.0.66.8 | ・tableを更新（Riemann予想） |
| Ver.0.65.8 |
・tableを更新（buttonとlinkの一覧を追加）
・span idを追加 |
| Ver.0.64.8 | ・test caseを追記（abc予想） |
| Ver.0.63.8 |
・test caseを追記（Collatz予想）
命題を追加 |
| Ver.0.62.8 |
・test caseを追記（Collatz予想）
qmaxの定義を訂正（quality ⇒ 平衡点のquality） ・test caseを追記 |
| Ver.0.62.7 |
・test caseを追記（entropyとqualityの定義を明確化）
qmax=2の根拠（一旦cancelを復帰） |
| Ver.0.61.7 |
・solve 3n±1結果表示にbit-patternのStandard Deviation/Meanを追加
bit-pattern（1bit-pattern1の両端bitを除く、0||1の配列） |
| Ver.0.60.7 |
・test caseを追記（Collatz予想）
予想を一般化（N進法の整数に拡張） |
| Ver.0.59.7 |
・solve 3n±1結果表示に(zeros counted)/(bin.length-2)を追加
・test caseを追記（Collatz予想 ⇔ entropy増大則） 均等化 ⇒ 伸長と均一化 不可逆性（復元 ⇒ 再現） 均一化後の挙動 |
| Ver.0.58.7 | ・test caseを更新（Fermatの最終定理の項目を[manual]Calculatorから移植） |
| Ver.0.57.7 | ・test caseを追記 |
| Ver.0.56.7 |
・show primes結果表示にP(lsd=1)を追加
・test caseを追記 |
| Ver.0.55.7 |
・素数判定isPrime(n)を追加
self.isPrime()の変更なし（show primesの演算負荷に影響なし） ・show primes/calc rad(n)のbutton位置を変更 ・UIの更新履歴を追記（Ver.0.46.7以降の未反映分） |
| Ver.0.53.7 |
・show primesを更新
自然数の範囲：n<32768 ⇒ 131072 ・show primes結果表示にStandard Deviation/Meanを追加 ・test caseを更新（Goldbach予想の項目を追加） |
| Ver.0.50.7 |
・solve結果表示を変更
n -> 1 ⇒ 1-circular（1を循環の帰着に含む） |
| Ver.0.46.7 |
・N-ary(n)の表示項目（N進数表記で各桁の数字の再帰的な総和'rsum'）を追加
・test caseを追記 |
| Ver.0.45.7 | ・N-ary(n)を追加 |
| Ver.0.44.7 | ・test caseを更新（abc予想の項目に追記） |
| Ver.0.43.7 |
・showで示す進数のen表記を訂正
adic representations ⇒ ary notations |
| Ver.0.43.6 |
・show magic-squareを追加
・test caseを更新（magic-squareの項目を追加） |
| Ver.0.42.6 | ・show s2(N,k)の変更取消し |
| Ver.0.42.5 | ・show s(N,k)を追加 |
| Ver.0.41.5 | ・test caseを更新（3n+1の項目を追加） |
| Ver.0.40.5 | ・abc予想の一部記述を追記して訂正（quality ⇒ quality'） |
| Ver.0.40.4 |
・show primesを更新（素数計数関数を追加）
・根基の関数名を一括変更 radical ⇒ rad radical(n) ⇒ calc rad(n) |
| Ver.0.39.4 |
・ |
| Ver.0.38.4 | ・test caseを更新（Riemann予想の項目を追加） |
| Ver.0.37.4 |
・本pageを分離して独立化
[manual]Calculatorから本pageにtest caseを移動 ・show Nrshift(m)の表示色を調整 ・3*nの乗算記号*を省略を前提として一括削除 3*n ⇒ 3n |
| Ver.0.36.4 |
・Number/BigIntのCalculator入力（64bit）に対応
MAX_SAFE_INTEGER -> 9007199254740991 3^2*5^6*7^3 -> 48234375 log2(3) -> 1.584962500721156 ・solve 3n+1 0xfffff -> quality=1.6349626131746033 0xfffffffffffff -> quality=1.6041932699519255 ・solve 3n-1 0xfffff+2 -> quality=1.718947382707015 (0xfffff+2)-2**5 -> quality=1.6161668176073567 0xfffffffffffff+2 -> quality=1.618710337301223 |
| Ver.0.35.4 |
・show primesを追加
・show Nrshift(m)の表示項目（=Nrshift(m)）を追加 ・solve結果表示にquality:=log(nmax)/log(n)≒mmax/m（桁数の比）を追加 m>>1の場合、quality<1.6≒log2(3) |
| Ver.0.34.4 |
・show Nrshift(m)の表示項目（演算過程）を追加
・solve結果表示にfloor(nmax/n)を追加 |
| Ver.0.33.4 |
・show Nrshift(m)を追加（m<12）
・solve結果が循環の場合、1循環分の結果を追加表示 |
| Ver.0.32.4 |
・n=BigInt(string)を追加
・BigInt演算のsolve-buttonsを追加 |
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| n | 出力の自然数 |
| string | 入力の文字列 |
|
My_eval(string)
Ver.0.36.4追加 |
n≦MAX_SAFE_INTEGERの場合、My_entry.eval(string)を適用 |
| clear | stringを消去 |
|
convert
Ver.0.55.7更新 |
parseInt/parseFloat/Number/BigInt/素数判定isPrime(n)の変換を実行
・isPrime(n)：実装関数のため、背景色を変更 |
|
N-ary(n)
Ver.0.45.7追加 Ver.0.46.7更新 |
N=[2,36]進数表記でnの一覧を表示
・N進数表記で各桁の数字の再帰的な総和'rsum'を追加 |
|
show s(N,k)
Ver.0.42.5追加 Ver.0.42.6訂正 |
N進数表記でs(N,k):=(N-1)*kの再帰前生値を表示
・s2(N,k)の変更取消し |
|
show magic-square
Ver.0.43.6追加 |
NxN:=2n+1のmagic-squareをN+1進数表記で表示 |
|
show Nrshift(m)
Ver.0.33.4追加 Ver.0.37.4更新 |
桁数mに対する右shift可能回数の単純期待値を表示
・表示色を調整 |
|
solve 3n-1
Ver.0.32.4追加 Ver.0.50.7更新 Ver.0.59.7更新 Ver.0.61.7更新 |
繰り返し実行
・nが奇数の場合、3n-1=(n<<1)+n-1の左shift相当演算 ・nが偶数の場合、奇数になるまで右shift演算 ・結果表示：n -> 1 ⇒ 1-circular（1を循環の帰着に含む） ・(zeros counted)/(bin.length-2)を追加 ・bit-patternのStandard Deviation/Meanを追加 |
|
solve 3n+1
Ver.0.32.4追加 Ver.0.50.7更新 Ver.0.59.7更新 Ver.0.61.7更新 |
繰り返し実行
・nが奇数の場合、3n+1=(n<<1)+n+1の左shift相当演算 ・nが偶数の場合、奇数になるまで右shift演算 ・結果表示：n -> 1 ⇒ 1-circular（1を循環の帰着に含む） ・(zeros counted)/(bin.length-2)を追加 ・bit-patternのStandard Deviation/Meanを追加 |
|
show primes
Ver.0.35.4追加 Ver.0.40.4更新 Ver.0.53.7更新 Ver.0.55.7更新 Ver.0.56.7更新 Ver.0.68.8更新 |
素数の一覧を表示
・素数計数関数を追加 ・自然数の範囲：n<32768 ⇒ 131072 ・Standard Deviation/Meanを追加 ・button位置を変更 ・P(lsd=1)を追加 ・双子素数の個数比Ntwinprime/Nnと確率≒1/ln(n)**2を追加（上段） |
|
calc rad(n) Ver.0.39.4追加 Ver.0.40.4更新 Ver.0.55.7更新 |
nの根基rad(n)を表示
・button位置を変更 |
| 項目 | 内容 |
|---|---|
|
3n+1
Ver.0.41.5追加 Ver.0.41.5訂正 Ver.0.42.5追記 s3 ⇒ s Ver.0.42.6訂正 Ver.0.46.7追記 |
・nを自然数としてN進数を定義する
N:=3n+1（nが奇数の場合、Nが偶数） ・N進数表記で各桁の数字の再帰的な総和（以降、総和）を一般化する s(N,k):=総和 ・総和の一般解を示す（Graphing Calculator-test case-N-ary参照） 'rsum'=(n-1)%(N-1)+1 ・[1,N-1]の周期性から ・3n基準の場合、kを自然数として以下の総和は不変 s1(N,k)=<s(N,k-1)+(N-1)/3; s1(N,1) -> (N-1)*1/3 -> n s2(N,k)=<s(N,k-1)+(N-1)*2/3; s2(N,1) -> (N-1)*2/3 -> 2n s(N,k)=<(N-1)*k; s(N,1) -> (N-1)*3/3 -> 3n ・N進数表記で再帰前生値を列挙する s1(N,1)||s1(N,2)||s1(N,3)||s1(N,4)||... -> n=(N-1)/3 s2(N,1)||s2(N,2)||s2(N,3)||s2(N,4)||... -> 2n=(N-1)*2/3 s(N,1)||s(N,2)||s(N,3)||s(N,4)||... -> 3n=N-1 ・4進数（n=1） 1||10||13||22||... -> 1 2||11||20||23||... -> 2 3||12||21||30||... -> 3 ・7進数（n=2） 2||11||20||26||... -> 2 4||13||22||31||... -> 4 6||15||24||33||... -> 6 ・10進数（n=3） 3||12||21||30||... -> 3 6||15||24||33||... -> 6 9||18||27||36||... -> 9 ・13進数（n=4） 4||13||22||31||... -> 4 8||17||26||35||... -> 8 c||1b||2a||39||... -> c ・16進数（n=5） 5||14||23||50||... -> 5 a||19||28||37||... -> a f||1e||2d||3c||... -> f ・N進数について以下の総和は不変 N進数表記：N-1の1||2||3||4||...倍数s(N,k) N=1：0||0||0||0||... -> 0 N=2：1||10||11||100||... -> 1 N=3：2||11||20||22||... -> 2 N=4：3||12||21||30||... -> 3 N=5：4||13||22||31||... -> 4 N=6：5||14||23||32||... -> 5 N=7：6||15||24||33||... -> 6 N=8：7||16||25||34||... -> 7 N=9：8||17||26||35||... -> 8 N=10：9||18||27||36||... -> 9 N=11：a||19||28||37||... -> a N=12：b||1a||29||38||... -> b N=13：c||1b||2a||39||... -> c N=14：d||1c||2b||3a||... -> d N=15：e||1d||2c||3b||... -> e N=16：f||1e||2d||3c||... -> f ・N進数について以下が成立（N≥4の偶数の場合、上記の総和と一致） N進数表記：0~N-2||N-1の和 N=1：NaN||0 -> 0 N=2：0||1 -> 0||1 N=3：1||10 -> 1 N=4：3||12 -> 3 N=5：11||20 -> 2 N=6：14||23 -> 5 N=7：21||30 -> 3 N=8：25||34 -> 7 N=9：31||40 -> 4 N=10：36||45 -> 9 N=11：41||50 -> 5 N=12：47||56 -> b N=13：51||60 -> 6 N=14：58||67 -> d N=15：61||70 -> 7 N=16：69||78 -> f ・参考 N進数表記：0~Nの和 N=1：1 -> 1 N=2：11 -> 2 N=3：20 -> 2 N=4：22 -> 4 N=5：30 -> 3 N=6：33 -> 6 N=7：40 -> 4 N=8：44 -> 8 N=9：50 -> 5 N=10：55 -> a N=11：60 -> 6 N=12：66 -> c N=13：70 -> 7 N=14：77 -> e N=15：80 -> 8 N=16：88 -> g |
|
magic-square
Ver.0.43.6追加 |
・NxN:=2n+1のmagic-square（各行||各列||対角要素の和が一致）をN+1進数表記で表示する
・4進数（N=3） ( 10,2,21: 20,12,1: 3,13,11 ) ・6進数（N=5） ( 14,24,2,21,40: 15,34,12,31,5: 25,3,22,41,10: 35,13,32,1,20: 4,23,33,11,30 ) ・8進数（N=7） ( 15,34,44,2,21,40,57: 25,35,54,12,31,50,6: 26,45,3,22,41,60,16: 36,55,13,32,51,7,17: 46,4,23,42,61,10,27: 56,14,33,52,1,20,37: 5,24,43,53,11,30,47 ) ・以上より、Nが奇数の場合、基準値1から総和が右方向と下方向に等差で循環する ・Nが偶数の場合、単純でない |
|
Collatz予想
Ver.0.46.7追記 Ver.0.50.7追記 Ver.0.59.7追記 Ver.0.60.7追記 Ver.0.62.7追記 Ver.0.62.8追記 Ver.0.63.8追記 |
・nを任意の自然数の奇数として3n+1の下位3桁のbit列を2進数literalで昇順に列挙する
・((nのbit列<<1)+1)+(nのbit列)=(3n+1のbit列) 0b011+0b001=0b0100; 0b111+0b011=0b1010; 0b011+0b101=0b1000; 0b111+0b111=0b1110; ・右shift可能回数の単純期待値≥7/4>log2(3)=1.58...（右shift優勢でn -> 1に再帰的帰着がCollatz予想） 0b0011+0b0001=0b00100; 0b0111+0b0011=0b01010; 0b1011+0b0101=0b10000; 0b1111+0b0111=0b10110; 0b0011+0b1001=0b01100; 0b0111+0b1011=0b10010; 0b1011+0b1101=0b11000; 0b1111+0b1111=0b11110; ・下位4桁の場合、単純期待値≥15/8 0b00011+0b00001=0b000100; 0b00111+0b00011=0b001010; 0b01011+0b00101=0b010000; 0b01111+0b00111=0b010110; 0b10011+0b01001=0b011100; 0b10111+0b01011=0b100010; 0b11011+0b01101=0b101000; 0b11111+0b01111=0b101110; 0b00011+0b10001=0b010100; 0b00111+0b10011=0b011010; 0b01011+0b10101=0b100000; 0b01111+0b10111=0b100110; 0b10011+0b11001=0b101100; 0b10111+0b11011=0b110010; 0b11011+0b11101=0b111000; 0b11111+0b11111=0b111110; ・下位5桁の場合、単純期待値≥31/16 ・下位m桁の場合、単純期待値≥(2**m-1)/2**(m-1) -> 2に漸近 ・m=[1,11]の単純期待値から1回と2回以上の比率は同等 1/1=(1){1}/1; 3/2=(1,2){1,1}/2; 7/4=(1,2,3){2,1,1}/4; 15/8=(1,2,3,4){4,2,1,1}/8; 31/16=(1,2,3,4,5){8,4,2,1,1}/16; 63/32=(1,2,3,4,5,6){16,8,4,2,1,1}/32; 127/64=(1,2,3,4,5,6,7){32,16,8,4,2,1,1}/64; 255/128=(1,2,3,4,5,6,7,8){64,32,16,8,4,2,1,1}/128; 511/256=(1,2,3,4,5,6,7,8,9){128,64,32,16,8,4,2,1,1}/256; 1023/512=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10){256,128,64,32,16,8,4,2,1,1}/512; 2047/1024=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11){512,256,128,64,32,16,8,4,2,1,1}/1024; ・全桁の場合、1回が連続する全bit=1（0b1111...1111）とそれ以外の場合分け ・3n+1の場合、右shift優勢で次の循環に帰着 1->4->2->1 ・一方、3n-1の場合、右shift優勢で以下の循環のいずれかに帰着（整数に拡張相当） 1->2->1 5->14->7->20->10->5 17->50->25->74->37->110->55->164->82->41->122->61->182->91->272->136->68->34->17 ・(nのbit列<<1)+(nのbit列-1)=(3n-1のbit列) 0b010+0b000=0b0010; 0b110+0b010=0b1000; 0b010+0b100=0b0110; 0b110+0b110=0b1100; 0b0010+0b0000=0b00010; 0b0110+0b0010=0b01000; 0b1010+0b0100=0b01110; 0b1110+0b0110=0b10100; 0b0010+0b1000=0b01010; 0b0110+0b1010=0b10000; 0b1010+0b1100=0b10110; 0b1110+0b1110=0b11100; 0b00010+0b00000=0b000010; 0b00110+0b00010=0b001000; 0b01010+0b00100=0b001110; 0b01110+0b00110=0b010100; 0b10010+0b01000=0b011010; 0b10110+0b01010=0b100000; 0b11010+0b01100=0b100110; 0b11110+0b01110=0b101100; 0b00010+0b10000=0b010010; 0b00110+0b10010=0b011000; 0b01010+0b10100=0b011110; 0b01110+0b10110=0b100100; 0b10010+0b11000=0b101010; 0b10110+0b11010=0b110000; 0b11010+0b11100=0b110110; 0b11110+0b11110=0b111100; ・無作為に奇数を選択する場合、3倍±1の演算後、右shift可能回数の期待値が無限大で2に漸近する ・全桁の場合、1回が連続する両端bit=1（0b1000...0001）とそれ以外の場合分け ・全桁数を表すbit列長が初期値の2倍（n*nのbit列長）を超えて発散するような予想の反例は見つかっていない ・m>>1でbit列長の比が1.6≒log2(3)をほぼ超えない（Graphing Calculator-test case-quality参照） ・以上より、3n=n+(n<<1)と±1の一律bit操作の反復過程で ・0連続部分（最上位bitの上側を含む）に形成されるbit列のrandom性（1回が連続しない状況）が示唆される 1回が連続する状況：bit列の偏りが最大の状態（0b1111...1111||0b1000...0001） ・完全randomの場合、bit列長の比がlog2(3)到達以降、常に右shift優勢（無限大で3/4の期待値）が確定する ・完全random性は証明不能のため、一律bit操作の反復過程から以下の統計的な結論（entropy増大則）を示す 発散しない根拠（bit列のentropy小⇒大）：偏り最大 ⇒ 伸長と均一化（両端bitを除く、0||1の比率≒0.5） 循環しない根拠（bit列のentropy大の不可逆性）：bit列長>>1の反復過程で同じbit列の再現不可 均一化後の挙動（bit列のentropy最大）：有限の反復回数で前述の循環に帰着（常に右shift優勢） ・以上より、一種の宇宙的挙動から熱力学同等の確度で予想を一般化する（N進法の整数に拡張） ・定義 自然数nのentropy：log(n) ⇔ 底Nの場合、N進法の桁数-1 ⇔ m:=log_ex(n,N)+1 quality：系のentropy初期値に対するentropy増大率 ⇔ quality:=log(nmax)/log(n) qmax：発散系の場合、平衡点のquality≥qmax ・結論 均一化の平衡点：底Nと真数Mの非対称な演算（±αの桁調整を含む）に依存 ⇔ 1<平衡点のquality<log_ex(M,N) N=2の場合、qmaxの根拠：右shift可能回数の期待値が無限大で2に漸近 ⇔ M<4 ⇔ qmax=log_ex(4,2)=2 予想成立の必要条件：平衡点のquality<log_ex(M,N)<2 ⇔ M=[N+1,N*N-1] ・命題：quality/log_ex(M,N)>1+ε, 実数ε>0を満たすnは有限個 式変形：quality>qmax_ep+ε', ε':=ε*qmax_ep, qmax_ep:=log_ex(M,N) 超過qualityのε'：連続超過の反復回数期待値Lが有限 ⇔ ε'∝1/(m*qmax_ep) ⇔ 無限大で0に漸近 個数相当のn'：ε':=L/(m*qmax_ep) ⇔ log_ex(n',N)+1=L/(ε'*qmax_ep) ⇔ n'=N**(L/(ε'*qmax_ep)-1) quality上限の目安：quality<qmax_ep+L/(m*qmax_ep) quality<qmaxを満たすL<Lmax：Lmax:=((qmax-qmax_ep)*qmax_ep)*m ⇔ Lmax∝m qmax=2, qmax_ep=log2(3)の場合、Lmax：Lmax=0.6578188727500515*m ⇔ m>>1で満足度が高い |
|
abc予想
Ver.0.40.5追記 Ver.0.44.7追記 Ver.0.45.7追記 Ver.0.62.7追記 Ver.0.64.8追記 |
・他方、abc予想も同様に、qualityがbit列長（entropy）の比と等価で1.63≒1+1/log2(3)をほぼ超えない
quality:=log(c)/log(rad(abc)) ・根基rad(abc)は右shiftでabcの桁数を最小化する（素因数の累乗の指数を1に落とす）操作であり、 ・互いに素なa||b||cの最大値max(a,b,c)とrad(abc)の桁数比qualityの限界をa+b=cの拘束条件で示している ・quality≧1の場合、cが素数でない必要条件から、次のc'がc素因数の累乗積になる c':=c/rad(c)≧2 rad(ab)≧2 ・互いに素（共通の素因数なし）の前提でquality'を定義する quality':=log(c')/log(rad(ab)) ・以上より、abc素因数の累乗の指数が大きくなる程、c'大/rad(ab)小の関係からqualityが大きくなる ・拘束条件がない場合、分母abと分子c'が独立するため、quality≥2の値を取り得る ・c=4095の一例・N進数表記：(N-ary)・p=[2,sqrt(c)]の昇順に右shiftを実行 4095(10-ary) -> 12121200(3-ary) -> 121212(3-ary) -> 455(10-ary) -> 3310(5-ary) -> 331(5-ary) -> 91(10-ary) -> 160(7-ary) -> 16(7-ary) -> 13(10-ary) -> 10(13-ary) -> 1(13-ary) -> 1(10-ary) ・参考：455(10-ary) -> d0(35-ary) ・cの素因数pの場合、p進数表記で最下位に0が並ぶ（整数がpで割切れる必要条件・p進数の右shift可能条件） ・同様に、0の並びの個数（累乗の指数と等価）が大きくなる程、qualityが大きくなる |
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Riemann予想
Ver.0.38.4追加 Ver.0.46.7追記 Ver.0.62.7追記 Ver.0.68.8追記 |
・nが素数の確率P（全素数の倍数にならない）
P(n)=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)... ・|r|<1の無限等比級数 1+r+r**2+r**3+...≒1/(1-r) ・P(n)の逆数を展開 1/P(n)=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n+... ・素数定理（極限で成立） P(n)≒1/ln(n) ・素数計数関数π(x)の近似関数Li(x) Li(x):=P(n)を範囲[2,x]で積分 ・素数計数関数の素数割合π(x)/xをqualityで代替する関数を示す（Graphing Calculator-test case-pi_(x)参照） quality(x)=<log(x!)/log(rad(x!)); pi_by_x(x)=<1/quality(x); ・変数を定義 primes_rad=rad(x!); linspace_round(x)=<trans(round(trans(linspace(1,x,x)))); ・logの和で展開（entropy換算） log_rad_fact(x)=<sum(trans(log(trans(primes_rad)))); log_fact(x)=<sum(trans(log(trans(linspace_round(x))))); pi_by_x(x)=<log_rad_fact(x)/log_fact(x); ・log2の和で展開（一律+1桁の桁数換算） log2_rad_fact(x)=<sum(trans(log2(trans(primes_rad))+1)); log2_fact(x)=<sum(trans(log2(trans(linspace_round(x)))+1)); pi_by_x(x)=<log2_rad_fact(x)/log2_fact(x); |
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Goldbach予想
Ver.0.53.7追加 Ver.0.56.7追記 Ver.0.57.7追記 Ver.0.67.8追記 Ver.0.68.8追記 |
・頻度の偏り度を定義する
頻度の偏り度:=標準偏差/平均値=Standard Deviation/Mean ・show primesのStandard Deviation/Meanから素数のbit列の偏り度は1%未満に収束する ・上位bitまで再帰的に成立し、2個の素数和のbit列も偏りがないと仮定する ・以上より、素数計数関数π(x)を用いて組合せ数の期待値を示す（Graphing Calculator-test case-Goldbach参照） 組合せ数の期待値=π(x)**2/x ・素数和の個数nで一般化して相関関係を示す 組合せ数の期待値∝π(x)**n/x ・比例係数k(n)を導入して組合せ数の期待値En(x)を定義する En(x):=k(n)*π(x)**n/x ・n=2の場合、k(2)=1として組合せ数の期待値E2(x)の傾向を示す E2(x):=π(x)**2/x E2(3)≒1.3 E2(101)≒6.7 E2(1009)≒28.3 ・また、素数係数関数の近似関数Li(x)から傾向を示す E2_Li(x):=Li(x)**2/x E2_Li(3)≒0.4 E2_Li(101)≒8.5 E2_Li(1009)≒31.4 ・さらに、素数係数関数をx/ln(x)に変換して傾向を示す E2'(x):=(x/ln(x))**2/x E2'(3)≒2.5 E2'(101)≒4.7 E2'(1009)≒21.1 ・よって、n≥2で正の相関の場合、 ・素数和の個数が最小の2個であっても、無限大に近づく程、統計的に反例を見つけるのは非常に困難である ・なお、以上の前提でE2'(x)は双子素数の個数と等価であり、正の相関を示す（xが無限大で発散） ・4進数表記の場合、4の倍数±1の素数のlsd（最下位桁）は1||3に対して、 ・6進数表記の場合、1||5（6の倍数±1）であり、 ・show primesのP(lsd=1)から2択の確率がいずれも0.5に漸近する ・以上より、素数の頻度について有意な偏りを見つけるのは難しい |
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Fermatの最終定理
Ver.0.58.7追加 |
・自然数n≥3の場合、任意2段の区間(x,z)に対してy^n=z^n-x^nを満たす階段yは存在しない
listup(n,zs,ze)=<[ arr_y=[], zn(z)=<z**n, yn(z,x)=<zn(z)-zn(x), get_yns(z)=<[yns=[],_sx(=<yns.push(yn(z,x)),0,max(0,z-1)),=<yns]=>, _s((z)=<arr_y[sizer(arr_y)].push(=<get_yns(z)),zs,ze), =<arr_y ]=>; ・n=1の場合、階段yが常に見つかる listup(1,0,15) -> 0 1 2,1 3,2,1 4,3,2,1 5,4,3,2,1 6,5,4,3,2,1 7,6,5,4,3,2,1 8,7,6,5,4,3,2,1 9,8,7,6,5,4,3,2,1 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 ・n=2の場合、階段yが稀に見つかる listup(2,0,25) -> 0 1 4,3 9,8,5 16,15,12,7 25,24,21,16,9 36,35,32,27,20,11 49,48,45,40,33,24,13 64,63,60,55,48,39,28,15 81,80,77,72,65,56,45,32,17 100,99,96,91,84,75,64,51,36,19 121,120,117,112,105,96,85,72,57,40,21 144,143,140,135,128,119,108,95,80,63,44,23 169,168,165,160,153,144,133,120,105,88,69,48,25 196,195,192,187,180,171,160,147,132,115,96,75,52,27 225,224,221,216,209,200,189,176,161,144,125,104,81,56,29 256,255,252,247,240,231,220,207,192,175,156,135,112,87,60,31 289,288,285,280,273,264,253,240,225,208,189,168,145,120,93,64,33 324,323,320,315,308,299,288,275,260,243,224,203,180,155,128,99,68,35 361,360,357,352,345,336,325,312,297,280,261,240,217,192,165,136,105,72,37 400,399,396,391,384,375,364,351,336,319,300,279,256,231,204,175,144,111,76,39 441,440,437,432,425,416,405,392,377,360,341,320,297,272,245,216,185,152,117,80,41 484,483,480,475,468,459,448,435,420,403,384,363,340,315,288,259,228,195,160,123,84,43 529,528,525,520,513,504,493,480,465,448,429,408,385,360,333,304,273,240,205,168,129,88,45 576,575,572,567,560,551,540,527,512,495,476,455,432,407,380,351,320,287,252,215,176,135,92,47 625,624,621,616,609,600,589,576,561,544,525,504,481,456,429,400,369,336,301,264,225,184,141,96,49 ・n=3の場合、階段yは見つからない listup(3,0,15) -> 0 1 8,7 27,26,19 64,63,56,37 125,124,117,98,61 216,215,208,189,152,91 343,342,335,316,279,218,127 512,511,504,485,448,387,296,169 729,728,721,702,665,604,513,386,217 1000,999,992,973,936,875,784,657,488,271 1331,1330,1323,1304,1267,1206,1115,988,819,602,331 1728,1727,1720,1701,1664,1603,1512,1385,1216,999,728,397 2197,2196,2189,2170,2133,2072,1981,1854,1685,1468,1197,866,469 2744,2743,2736,2717,2680,2619,2528,2401,2232,2015,1744,1413,1016,547 3375,3374,3367,3348,3311,3250,3159,3032,2863,2646,2375,2044,1647,1178,631 ・n=4の場合、階段yは見つからない listup(4,0,15) -> 0 1 16,15 81,80,65 256,255,240,175 625,624,609,544,369 1296,1295,1280,1215,1040,671 2401,2400,2385,2320,2145,1776,1105 4096,4095,4080,4015,3840,3471,2800,1695 6561,6560,6545,6480,6305,5936,5265,4160,2465 10000,9999,9984,9919,9744,9375,8704,7599,5904,3439 14641,14640,14625,14560,14385,14016,13345,12240,10545,8080,4641 20736,20735,20720,20655,20480,20111,19440,18335,16640,14175,10736,6095 28561,28560,28545,28480,28305,27936,27265,26160,24465,22000,18561,13920,7825 38416,38415,38400,38335,38160,37791,37120,36015,34320,31855,28416,23775,17680,9855 50625,50624,50609,50544,50369,50000,49329,48224,46529,44064,40625,35984,29889,22064,12209 ・以上より、n≥3の場合、自然数の階段yは見つからない（20世紀に証明済み） ・原始Pythagoras数の互いに素な自然数の組(x,y,z)を示す※(x,y)は可換 (x,y,z)=(3,4,5) (x,y,z)=(5,12,13) (x,y,z)=(7,24,25) (x,y,z)=(8,15,17) ・奇偶の異なる互いに素な2つの自然数l<mの関数で表す a=m+(l)i b=m-(l)i (x,y,z)=(m^2-l^2,2m*l,m^2+l^2)=(1/2)(a^2+b^2,-(a^2-b^2)i,2a*b) |